Este é um desafio avançado para quem gosta de matemática. Vamos provar que a soma de todos os números naturais, de 1 até o infinito, é igual a -1/12. Sim, um número negativo!

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Para essa demonstração, utilizaremos duas outras séries:

S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …

Começando com a S1, podemos perceber que ela pode ser zero ou um. Se paramos a contagem em um elemento par da série, ela é igual a zero. Em um elemento ímpar, é igual a um. Como essa série vai até o infinito, não sabemos se será zero ou um, então podemos de certa forma “aproximar” para 1/2.

Achou estranho? Vamos fazer uma demonstração somando a série com ela mesma:

S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
+
S1 =        1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …

Colocando desta forma mais visual, repare que a partir do segundo elemento da série, todos serão cancelados com a de baixo. Sobrará, do lado direito, apenas o 1. Portanto, teremos a seguinte configuração:

2S1 = 1
Logo, S1 = 1/2.

Vamos agora para a segunda série:

S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …

Somando ela com ela mesma, temos a seguinte configuração:

S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
+
S2 =        1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
______________________________________
2S2 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …

Dessa mesma forma, mais visual, podemos ver que a soma de S2 com S2 é igual a S1:

2S2 = S1
2S2 = 1/2
S2 = 1/4.

Agora vamos para a demonstração final. Como a soma de todos os números até o infinito pode ser igual a um número negativo? Vejamos:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …

Subtraindo S2 desta série, temos a seguinte configuração:

S   = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
-
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …

Repare que todos os números ímpares serão cancelados, e teremos a seguinte configuração:

S – S2 = 4 + 8 + 12 + 16 + …

Colocando o 4 em evidência, teremos:

S – S2 = 4.(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …)
S – S2 = 4S

–S2 = 3S

Como S2 = 1/4, temos que:

3S = -1/4
S = -1/12

Impressionante, não? :)

Para mais detalhes, veja o canal Numberphile (em inglês).

 

Qual é o erro desta demonstração?

Veja a Reposta do Desafio das Séries.

Share Button