Desafio das Séries
Este é um desafio avançado para quem gosta de matemática. Vamos provar que a soma de todos os números naturais, de 1 até o infinito, é igual a -1/12. Sim, um número negativo!
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12
Para essa demonstração, utilizaremos duas outras séries:
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
Começando com a S1, podemos perceber que ela pode ser zero ou um. Se paramos a contagem em um elemento par da série, ela é igual a zero. Em um elemento ímpar, é igual a um. Como essa série vai até o infinito, não sabemos se será zero ou um, então podemos de certa forma “aproximar” para 1/2.
Achou estranho? Vamos fazer uma demonstração somando a série com ela mesma:
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
+
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
Colocando desta forma mais visual, repare que a partir do segundo elemento da série, todos serão cancelados com a de baixo. Sobrará, do lado direito, apenas o 1. Portanto, teremos a seguinte configuração:
2S1 = 1
Logo, S1 = 1/2.
Vamos agora para a segunda série:
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
Somando ela com ela mesma, temos a seguinte configuração:
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
+
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
______________________________________
2S2 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
Dessa mesma forma, mais visual, podemos ver que a soma de S2 com S2 é igual a S1:
2S2 = S1
2S2 = 1/2
S2 = 1/4.
Agora vamos para a demonstração final. Como a soma de todos os números até o infinito pode ser igual a um número negativo? Vejamos:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
Subtraindo S2 desta série, temos a seguinte configuração:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
–
S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
Repare que todos os números ímpares serão cancelados, e teremos a seguinte configuração:
S – S2 = 4 + 8 + 12 + 16 + …
Colocando o 4 em evidência, teremos:
S – S2 = 4.(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …)
S – S2 = 4S
–S2 = 3S
Como S2 = 1/4, temos que:
3S = -1/4
S = -1/12
Impressionante, não? 🙂
Para mais detalhes, veja o canal Numberphile (em inglês).
Qual é o erro desta demonstração?
Veja a Reposta do Desafio das Séries.
Seja s=1+2+3+…+n, então, s=n+(n-1)+(n-2)+…+1, e portanto, 2s=n(n+1) e s=n(n+1)/2 que vai a +inf quando n vai a +inf. Logo, a série considerada por ti é divergente; leia a biografia de Abel, nótorio algebrista, lá encontrarás um ótima definição sobre séries divergentes. Agora observe algo estranho sobre sua série s1:
s1= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = (1 – 1) + (1 – 1 )+ (1 – 1) + … = 0, mas
s1= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + …= 1 + 0 = 1, mas
você encontrou s1=1/2
te desafio encontrar s1=pi
Bom, então 1=0=1/2 e talvez até igual a pi;
Claro que não, o equívoco consistiu em operar séries divergentes como se elas fossem números, e eu me recuso acreditar que físicos usam a absurda igualdade do -1/12, seria o mesmo que afirmar que Galileu era terraplanista, essas besteiras são reservadas para ignorantes, lembrando que ignorante é diferente de estúpido, caso algum terraplanista leia meu comentário.
Está sendo considerado que a soma de uma série S1, composta por números inteiros com uma série S1, também composta por inteiros e acrescentando como o primeiro elemento desta segunda série S1 o número ‘0’ (ZERO) tem como resultado um número racional? Em quantos casos na matemática são somados dois números inteiros e se obtém um número racional? Estão sendo somadas duas séries S1 diferentes: Uma que começa com ‘um’ e outra que começa com ‘zero’
Também são somadas duas séries S2 diferentes: uma que começa com ‘um’ e outra que começa com ‘zero’.
https://pt.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
Recordando as palavras do matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829): “As séries divergentes são invenção do diabo, e é vergonhoso basear nelas qualquer tipo de demonstração.”
Lembrando que todas as séries usadas nessa demonstração são divergente.
O mais interessante é que esse resultado é bastante utilizado na física.
Curioso.
Aparentemente a demonstração parece satisfatória, mas se você parte de um principio errado não espere encontrar uma resposta certa.
A sequencia 1-1+1-1+1……não é convergente, pois conforme você for somando, o resultado da soma não vai se aproximando cada vez mais de um número, mas sim sempre dando dois resultados, o 0 ou o 1.
Logo a segunda sequencia também não é convergente.
De tudo isso podemos esperar qualquer resultado, pois estamos lidando com uma sequencia divergente.
Correção: onde eu escrevi sequencia leia-se série.
Demetrio, essa premissa realmente parece estranha. Até hoje os matemáticos não conseguiram chegar à conclusão se a soma de 1-1+1-1+1-1… é igual a 0, 1 ou 1/2. Apesar disso existe outra maneira de chegar ao valor -1/12 sem utilizar essa controversa premissa. Pode ser feita por meio de diferenciação e da função zeta de Riemann:
https://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk
Por que colocou o segundo S1 um pouco mais pra direita? Pode fazer isso? Isso não altera o resultado? Me desculpe se estou perguntando bobagem 😛
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
+
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
+
S1 = (ESPAÇO) 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …